martes, 4 de mayo de 2010

2° Año) Polinomios - Nociones Generales

1. Define Polinomio en R:

- Un polinomio en variable "x" es una expresión algebraica conformada por la suma de términos de la forma: axn , donde "a" es cualquier número real, diferente de cero y "n" es un número entero positivo.


2. Aplicaciones:
a) Aplicaciones Matemáticas:

* Estudio de las raíces de z – a – w f(z) = 0.

b) Aplicaciones a la electrostática:

* Potencial de un campo eléctrico generado por una carga puntual.


* Potencial de un campo eléctrico generado por una carga puntual en el interior de una esfera puesta a Tierra.

* Potencial de un campo eléctrico generado por un anillo circular.

* Ecuación de laplace en coordenadas esféricas.

-Juan Sacerdoti."POLINOMIOS Y FUNCIONES DE LEGENDRE". Disponible en: http://www.fi.uba.ar/materias/6118/Material/Leg00.pdf

3. Investiga sobre:

3.1. Grado de un monomio:

a) Grado relativo: Es el exponente que afecta a cada variable, además, está en relación a cada una de las variables del monomio.

b) Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de todas las variables,es decir, está en relacion a toda la expresión.

3.2. Grado de un polinomio:

a) Grado relativo: Es el mayor exponente que presenta una misma variable en un polinomio.

b) Grado absoluto: Es la suma mayor de los exponentes de las variables de los términos de un polinomio.

c) Grado de las operaciones algebraicas:

* Grado de un producto: Es la suma de los grados de los factores.

* Grado de un cociente: Es el resultado de restar el grado del dividendo menos el grado del divisor.

* Grado de una potencia: El es producto de multiplicar el grado de la base por el exponente.

* Grado de una Raíz: Es el resultado de dividir el grado del radicando entre el índice del radical.

- Manuel Coveñas Naquiche. Matemática 3º Año de Educación Secundaria.

3.3. Polinomios especiales:

a) Polinomio idénticamente nulo: Es el polinomio que tiene todos los coeficientes iguales a cero y carece de grado. Simbólicamente: P(x) = 0+0.x+...0.x Ùn.

b) Homogéneo: Un polinomio es homogéneo cuando el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo.

c) Ordenado: Un polinomio es ordenado, cuando sus exponentes están de menor a mayor ( Polinomio ordenado ascendente): 5a2 +3a3 -a5 +a8; o de mayor a menor ( Polinomio ordenado descendente): 5x6 +3x5 -2x2 +x

c) Completo: Un polinomio es completo, con respecto a una variable, cuando tiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Ejemplo:3x5 -x4+6x3+x2 -5x1 +5x0 en este caso, podemos decir que el polinomio es completo con respecto a la variable "x".

d) Identicos, iguales o equivalentes: Dos polinomios son iguales cuando tienen igual
coeficiente e igual parte literal.

e)Polinomios semejantes: Son semejantes, cuando cuando tienen la misma parte literal.


- Brinkster. "Introducción al álgebra". Disponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplet

- Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Agrarias.
Silvia G. V.de Herrmann. "Polinomios". Disponible en: http://agr.unne.edu.ar/Academica/Ingreso2004/Matematica-I.pdf (Ver: pág. 11)

- http://faa.unse.edu.ar/ingreso/matemat/matem_05.pdf (Ver: pág. 52-53)

3.4. Operaciones con polinomios:

Adición:

- Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos, es decir, que se reúne los términos de igual grado y se suman.

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+--- - 5x3 --- x2 +2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5

-Leoncio Santos Cuervo. Descartes2d. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma

- Ejercitando.com.ar. "Suma o adición de polinomios" Disponible en: http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm

- Silvia Sokolovsky. "Polinomios".Disponible en: http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm

- Encarta. "Polinomio". Disponible en: http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#s2

Sustracción:

- Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sutraendo, es decir, se cambia el signo a todos los términos del segundo polinomio (sustraendo) y se suman los resultados.

- Leoncio Santos Cuervo. Descartes. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma

- Brinkster.com. " Operaciones con polinomios". Disponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#masmenos

- Fisicanet.com. “POLINOMIOS - APM220A”. Disponible en: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2ap01/apm2_20a_polinomios.html


Multiplicación:

a) Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios se multiplicación los coeficientes numéricos y si existen coeficientes literales en común en los términos o monomios a multiplicar, el producto de ellos es el mismo con un exponente igual a la suma de los exponentes de los términos.

b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, luego se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

a) 3x(5 – x) = 3x(5) – 3x(x) = 15x – 3x2

b) –2(a – b) = –2a + (–2)( –b) = –2a + 2b

c) Multiplicación de polinomios: Para multiplicar dos polinomios, se multiplican término a término de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes. Usualemente se ordenan los polinomios en orden creciente o decreciente. Ejemplo: Multiplicar el polinomio x2 +2x –1 por el siguiente polinomio de grado dos x2 +2x +1.

- Descartes. Leoncio Santos Cuervo. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma

- MSN Encarta. "Polinomio". Disponible en: http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#s3
- Student Star. "Polinomios". Disponible en: http://student_star.galeon.com/polmul.html

- Silvia Sokolovsky. "Polinomios". Disponible en:
http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm

- Brinkster.com. " Operaciones con polinomios". Disponible en:
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#multipl

- http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/ale2.htm



Productos notables: casos, Identidades de Legendre:

1.

Binomio de Suma al Cuadrado

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2.
Binomio Diferencia al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3.
Diferencia de Cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4.
Binomio Suma al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

5.
Binomio Diferencia al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

6.
Suma de dos Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)



#
Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

#
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

#
Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

#
Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

#
Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

- Monografías.com. JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO . "Productos Notables". Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DEFIN

- Brinkster.com. "Operaciones con Polinomios". Productos Notables". Dsiponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#prodnotb

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