¿Qué es el déficit atencional?
A José no lo para nadie. Durante los escasos minutos que permanece sentado, mueve sus pies con insistencia y se balancea en la silla. En el colegio no es capaz de finalizar sus tareas ni tampoco de ser amistoso con sus compañeros de curso. A sus escasos seis años, ya es considerado un niño problema.
Desde pequeño fue inquieto, pero este rasgo de su personalidad se agudizó al entrar al colegio. Él es parte de ese treinta por ciento de escolares que es diagnosticado con déficit atencional. Éste se define como un trastorno de la conducta que se caracteriza por dificultades en la atención y concentración, así como impulsividad e hiperactividad, generalmente asociadas a un mal rendimiento en el colegio. Síntomas que en algunos niños disminuyen a medida que avanzan hacia la adolescencia, pero que de igual forma persisten en algún grado hasta la adultez.
Existen dos tipos de déficit atencional: con hiperactividad y sin ella.
Los niños con déficit atencional sin hiperactividad se distraen con facilidad, presentan dificultades para concentrarse en sus deberes escolares como también en los juegos. Son de esos menores que por lo general no terminan lo que empiezan y siempre llegan a casa diciendo que se les extravió algo. Son los “distraídos” del curso.
En cambio, los que sufren este trastorno y además son hiperactivos se caracterizan por ser extremadamente inquietos. Van de un lugar a otro, abren cajones y puertas, y se suben a sitios peligrosos. Además, se enojan con facilidad, molestan a otros niños y se frustran con rapidez cuando algo no les resulta o no se satisfacen sus pedidos. Más aún, actúan antes de pensar y tienen drásticos cambios de estado de ánimo.
Causas y pronóstico
Cómo ayudar a los niños con este trastorno
Busque el colegio adecuado
Las causas de este trastorno son diversas y van desde inmadurez neurológica y desequilibrios químicos en el sistema nervioso central, hasta asfixia en el alumbramiento, partos prematuros o causas hereditarias. Pero igual de importantes son los factores ambientales, como una dinámica familiar alterada.
Por lo general, un niño con síndrome de déficit atencional será un adulto que se incline por una profesión de tipo creativa. Sin duda, no elegirá un trabajo que lo obligue a estar sentado por ocho horas.
Tratamiento
Si el profesor de su hijo lo llama y le sugiere que lo lleve a un especialista, no se alarme. Sin duda, un tratamiento médico aliviará los síntomas de este trastorno.
Generalmente se sugiere iniciar las consultas con un neurólogo infantil para que éste haga un diagnóstico y derive al menor hacia otros profesionales, como psicólogo o psicopedagogo.
¿Qué es el Ritalín?
Es probable que el neurólogo apoye el tratamiento con fármacos psicoestimulantes que disminuyen la hiperactividad, favorecen la capacidad de concentración y mejoran el autocontrol de los impulsos agresivos. Con ellos se logra la adaptación del niño al medio escolar y social, un mejor rendimiento académico y más motivación por el estudio.
No obstante, estos medicamentos podrían producir efectos colaterales como disminución del apetito e insomnio, por lo que es recomendable consultar al médico, y preguntarle si no producen acostumbramiento ni daños en el sistema nervioso del menor.
Al respecto la psicóloga infantil Paulina Müller sostiene que los remedios no bastan para tratar a estos niños. “Lo óptimo es una terapia multimodal. Las complicaciones neurológicas se abordan con medicamentos, que son un paliativo de los síntomas, pero no mejoran el problema a nivel psicológico”, advierte.
El tratamiento psicológico se orienta principalmente a ayudarlos a controlar sus impulsos dándole al niño estrategias para el manejo de distintas situaciones. “Un síndrome de déficit atencional mal manejado puede provocar una baja autoestima e inseguridad”, señala la profesional.
Y agrega que los menores que sufren este problema, al no respetar reglas y ser muy impulsivos, se exponen a ser sancionados y rechazados por quienes los rodean. Lo que obviamente les afecta. Durante la psicoterapia se busca que el niño conozca y aprecie sus aspectos positivos y habilidades.
Por otro lado, dada su historia de hiperactividad y dificultad en la atención y concentración, son niños que, por lo general, no han instaurado hábitos ni tienen técnicas de estudio, provocando en ocasiones un retraso escolar. Por lo tanto, un tratamiento psicopedagógico será de gran ayuda en estos casos al estabilizar el aprendizaje y rendimiento escolar.
jueves, 24 de junio de 2010
miércoles, 2 de junio de 2010
Teorema de Thales- Tercer Año
TEOREMA DE THALES
1. En la siguiente figura L1//L2
a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?
b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?
c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.
d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?
f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?
g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?
h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.
i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?
2. En la siguiente figura L1//L2.
a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?
b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.
c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.
d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?
3. En la siguiente figura L1//L2.
a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?
c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?
d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm., CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.
1. En la siguiente figura L1//L2
a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?
b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?
c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.
d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?
f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?
g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?
h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.
i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?
2. En la siguiente figura L1//L2.
a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?
b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.
c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.
d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?
3. En la siguiente figura L1//L2.
a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?
c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?
d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm., CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.
domingo, 30 de mayo de 2010
olimpíadas cat.13-14
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA
Pregunta No. 1
Cada mañana, en el campamento de verano, el acampado más joven tiene
que izar la bandera hasta lo alto del mástil.
I) Explica en palabras qué significa cada una de las siguientes gráficas.
II) ¿Qué gráfica muestra la situación de forma más realista?
III) ¿Qué gráfica es la menos realista?
Solución
I) La gráfica a) indica que la velocidad de subida de la bandera es uniforme
durante todo su izado.
La gráfica b) indica que empieza muy deprisa y la velocidad va disminuyendo
durante todo el tiempo.
La gráfica c) muestra que el izado se realiza a tirones.
En la d) sucede lo contrario que en la b), empieza muy lento y la velocidad
de subida va aumentando.
En la e) hay dos fases distintas; en la primera mitad se comporta como
en d) y en la segunda como en b).
Por último, en f) la subida de la bandera es instantánea.
II, III) La gráfica f) es la menos realista; podría decirse que imposible por
exigir una velocidad infinita.
El ritmo constante de a) parece impropio del “acampado más joven”.
Si este joven sólo lo hace un día, lo más fácil es que lo haga a tirones, tal
como está representado en la c).
Pregunta No. 2
2. La hermana pequeña de Dani ha cambiado la clave de la calculadora
nueva que tiene su hermano, sin decirle nada.
Las claves originales y las nuevas son las que se muestran en los siguientes
dibujos:
Así pues, si Dani presiona la tecla en la que hay un 4, el número que entra
realmente en la calculadora es un 5 que, por otra parte, es lo que aparece
en la pantalla. Sin darse cuenta de este desmadre, Dani mete en la calculadora
un número primo p de dos dígitos, y otro número primo q de un dígito (utilizando
lo que él ve, claro) y ordena sumarlos. Sorprendentemente, la respuesta
que aparece es ¡la respuesta correcta!
¿Sabrías decir qué dos números primos p y q introdujo Dani en su calculadora?
Solución
53 y 47
Pregunta No. 3
Un hombre tomó una posada por treinta días, por el precio de un denario
cada día. Este huésped no tenía dinero, sino cinco piezas de plata, que entre
todas ellas valían treinta denarios. Con estas piezas pagaba cada día la posada
y no le quedaba debiendo nada a la posadera, ni ella a él.
¿Puedes decir cuántos denarios valía cada pieza y cómo se pagaba con
ellas?
Solución
Una de las piezas ha de ser de 1 denario, con la que se pagaría el primer día.
Para pagar el segundo día usaríamos otra pieza de 2 denarios y nos devolvería la de 1 denario, con la que pagaríamos el tercer día, y la posadera tendría 3 denarios.
El cuarto día pagamos con una pieza de 4 denarios y devuelve las dos de 1 y 2 denarios.
Seguiríamos pagando con la de 1, después la de 2 y devuelven 1, y así sucesivamente.
El octavo día pagaríamos con una de 8 denarios y nos devuelven las de 1, 2 y 4. Así podría pagar hasta el día 15.
El día 16 paga con una de 15 y le devuelven las de 2, 4 y 8, y así sucesivamente.
En resumen, las piezas deben ser de 1, 2, 4, 8 y 15 denarios.
Pregunta No. 1
Cada mañana, en el campamento de verano, el acampado más joven tiene
que izar la bandera hasta lo alto del mástil.
I) Explica en palabras qué significa cada una de las siguientes gráficas.
II) ¿Qué gráfica muestra la situación de forma más realista?
III) ¿Qué gráfica es la menos realista?
Solución
I) La gráfica a) indica que la velocidad de subida de la bandera es uniforme
durante todo su izado.
La gráfica b) indica que empieza muy deprisa y la velocidad va disminuyendo
durante todo el tiempo.
La gráfica c) muestra que el izado se realiza a tirones.
En la d) sucede lo contrario que en la b), empieza muy lento y la velocidad
de subida va aumentando.
En la e) hay dos fases distintas; en la primera mitad se comporta como
en d) y en la segunda como en b).
Por último, en f) la subida de la bandera es instantánea.
II, III) La gráfica f) es la menos realista; podría decirse que imposible por
exigir una velocidad infinita.
El ritmo constante de a) parece impropio del “acampado más joven”.
Si este joven sólo lo hace un día, lo más fácil es que lo haga a tirones, tal
como está representado en la c).
Pregunta No. 2
2. La hermana pequeña de Dani ha cambiado la clave de la calculadora
nueva que tiene su hermano, sin decirle nada.
Las claves originales y las nuevas son las que se muestran en los siguientes
dibujos:
Así pues, si Dani presiona la tecla en la que hay un 4, el número que entra
realmente en la calculadora es un 5 que, por otra parte, es lo que aparece
en la pantalla. Sin darse cuenta de este desmadre, Dani mete en la calculadora
un número primo p de dos dígitos, y otro número primo q de un dígito (utilizando
lo que él ve, claro) y ordena sumarlos. Sorprendentemente, la respuesta
que aparece es ¡la respuesta correcta!
¿Sabrías decir qué dos números primos p y q introdujo Dani en su calculadora?
Solución
53 y 47
Pregunta No. 3
Un hombre tomó una posada por treinta días, por el precio de un denario
cada día. Este huésped no tenía dinero, sino cinco piezas de plata, que entre
todas ellas valían treinta denarios. Con estas piezas pagaba cada día la posada
y no le quedaba debiendo nada a la posadera, ni ella a él.
¿Puedes decir cuántos denarios valía cada pieza y cómo se pagaba con
ellas?
Solución
Una de las piezas ha de ser de 1 denario, con la que se pagaría el primer día.
Para pagar el segundo día usaríamos otra pieza de 2 denarios y nos devolvería la de 1 denario, con la que pagaríamos el tercer día, y la posadera tendría 3 denarios.
El cuarto día pagamos con una pieza de 4 denarios y devuelve las dos de 1 y 2 denarios.
Seguiríamos pagando con la de 1, después la de 2 y devuelven 1, y así sucesivamente.
El octavo día pagaríamos con una de 8 denarios y nos devuelven las de 1, 2 y 4. Así podría pagar hasta el día 15.
El día 16 paga con una de 15 y le devuelven las de 2, 4 y 8, y así sucesivamente.
En resumen, las piezas deben ser de 1, 2, 4, 8 y 15 denarios.
olimpíadas cat.12-13
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA
Pregunta No. 1
En una cárcel hay 32 presos repartidos en ocho celdas de planta cuadrada.
En cada celda de las esquinas hay un preso y en cada una de las centrales
hay siete presos.
El carcelero cuenta cada noche los presos que hay en cada hilera y se
asegura de que sean nueve. Una vez hecho esto se retira a su oficina.
Cierto día se fugan cuatro internos. Cuando el carcelero hace su recuento
nocturno no se percata de nada, pues los presos siguen sumando nueve por hilera.
¿Qué hicieron los presos para burlar al carcelero? ¿Cómo se situaron en
las celdas?
Tres días más tarde se fugan otros cuatro presos. Esta vez tampoco el
carcelero se dio cuenta de nada al contar.
¿Cómo volvieron a burlar al carcelero?
Una semana después, el carcelero realizó su habitual recuento, le salieron
las cuentas y volvió tranquilo a su oficina. A la mañana siguiente una inspección
del alcaide descubrió que sólo quedaban 20 presos.
¿Qué hicieron los reclusos para burlar por tercera vez al ingenuo carcelero?
¿Hubiera sido posible una cuarta fuga?
Sol: En total ha habido 3 fugas y en cada una se han fugado 4 presos.
Se puede plantear otra fuga de una o de dos personas, como se indica a
continuación:
El número mínimo de presos que pueden quedar es 18.
La clave está en que los presos de las esquinas son contados dos veces.
Pregunta No. 2
Un coleccionista gasta 100 pesetas en comprar sellos de 1, 4 y 12 pesetas.
¿Cuántos sellos serán de cada clase si en total ha comprado 40?
Sol: el coleccionista ha comprado 28 sellos de 1 pta, 9 de 4 ptas y 3 de 12 pts.
Pregunta No. 3
En el dibujo aparece una pieza que se encuentra en los mosaicos de la
Alhambra. Ya sabes que estas piezas se forman a partir de polígonos regulares
que rellenan el plano, siendo iguales en superficie a los polígonos de los que
proceden. Averigua el perímetro y el área de la figura que aparece sombreada.
Sol: área = 32 cm2 y perímetro = 8 cm
Pregunta No. 1
En una cárcel hay 32 presos repartidos en ocho celdas de planta cuadrada.
En cada celda de las esquinas hay un preso y en cada una de las centrales
hay siete presos.
El carcelero cuenta cada noche los presos que hay en cada hilera y se
asegura de que sean nueve. Una vez hecho esto se retira a su oficina.
Cierto día se fugan cuatro internos. Cuando el carcelero hace su recuento
nocturno no se percata de nada, pues los presos siguen sumando nueve por hilera.
¿Qué hicieron los presos para burlar al carcelero? ¿Cómo se situaron en
las celdas?
Tres días más tarde se fugan otros cuatro presos. Esta vez tampoco el
carcelero se dio cuenta de nada al contar.
¿Cómo volvieron a burlar al carcelero?
Una semana después, el carcelero realizó su habitual recuento, le salieron
las cuentas y volvió tranquilo a su oficina. A la mañana siguiente una inspección
del alcaide descubrió que sólo quedaban 20 presos.
¿Qué hicieron los reclusos para burlar por tercera vez al ingenuo carcelero?
¿Hubiera sido posible una cuarta fuga?
Sol: En total ha habido 3 fugas y en cada una se han fugado 4 presos.
Se puede plantear otra fuga de una o de dos personas, como se indica a
continuación:
El número mínimo de presos que pueden quedar es 18.
La clave está en que los presos de las esquinas son contados dos veces.
Pregunta No. 2
Un coleccionista gasta 100 pesetas en comprar sellos de 1, 4 y 12 pesetas.
¿Cuántos sellos serán de cada clase si en total ha comprado 40?
Sol: el coleccionista ha comprado 28 sellos de 1 pta, 9 de 4 ptas y 3 de 12 pts.
Pregunta No. 3
En el dibujo aparece una pieza que se encuentra en los mosaicos de la
Alhambra. Ya sabes que estas piezas se forman a partir de polígonos regulares
que rellenan el plano, siendo iguales en superficie a los polígonos de los que
proceden. Averigua el perímetro y el área de la figura que aparece sombreada.
Sol: área = 32 cm2 y perímetro = 8 cm
martes, 11 de mayo de 2010
2°Año) Nociones Básicas sobre Ecuaciones
Existen varias clases de ecuaciones , pero en este trabajo nos vamos a enfocar en las ecuaciones de primer grado con una incógnita; específicamente las fraccionarias , pero es necesario explicar en qué consisten una ecuación.
Por lo tanto presentaremos en dicho trabajo , qué es una ecuación , tomando qué puntos clasificamos las ecuaciones hasta lograr una sólida base y así enfocarnos en el tema principal del trabajoPreguntas
Introducción
¿ Qué es una ecuación?
¿ Qué es una ecuación de primer grado?
¿ Qué es una ecuación fraccionaria?
¿ Cómo encontrar las dimensiones de un rectángulo en base a su ancho y largo y demás?
¿ En qué consiste el área del rectángulo?
DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos :
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección.
SOLUCIÓN NUMÉRICA Y GRÁFICA
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:
3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.
Decimos en este caso que la ecaución tiene solución. Pero:
¿qué significa gráficamente esta solución?
Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación. Cambia los valores de x en la ventana inferior, señalando sobre las flechitas con el ratón o "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.
El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = -1,5)
Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo.
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".
Ejercicio 2.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 1 - 3x = 2x - 9.
Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio. Fíjate en la ecuación del ejercicio 1 la forma de escribir 3x, se escribe 3*x.
Combrueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente.
(habrás obtenido que la solución es x = 2)
ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN
Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
En la escena siguiente, observarás que no se representa ninguna recta, luego la ecuación no representa a ninguna recta y por tanto no existe el punto de corte con el eje X, luego no existe la solución.
Ejercicio 4.- Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución la ecuación:
3x - 2 + x = 5x + 1 - x
En la escena anterior cambia la ecuación actual por esta, observando que no se representa ninguna recta, luego no existe la solución.
ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES
Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
2x-1 = 3x + 3 - x - 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?.
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).
Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.
Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES
Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.
3x -2 + x = 1 + 4x - 3
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:
Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos :
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
La solución de la ecuacíón se puede ver también en esta escena
Plantea y resuelve numéricamente y también si lo deseas gráficamente es esta escena, cambiando la ecuación, el siguiente problema:
Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).
EJERCICIOS FINALES
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:
Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) -5x = 12 - x
b) 2(x - 7) - 3(x + 2) + 4(x + 1) - 2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis !)
c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2)
d) 3x + 4 - x = 7 + 2x
e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m)
b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4)
jueves, 6 de mayo de 2010
3er Año) Repartido
Resuelva y verifique los sistemas presentados a continuación. Tache los resultados en la matriz que aparece al finalizar.
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3er Año) A modo de información... todos los métodos
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE 2 ECUACIONES.
El método anteriormente expuesto, por tanteo, resulta casi siempre farragoso y en la mayoría de las ocasiones largo o imposible, por lo que se imponen otros numerosos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre los que destacaremos:
Método de reducción; es el más utilizado en problemas sencillos.
Método de sustitución; es importante pues, a pesar de ser menos utilizado que el anterior, se usa en numerosos mecanismos algebraicos.
Método de igualación; No muy utilizado, sólo en casos muy concretos.
Método gráfico; tiene el problema de que en muchas ocasiones es difícil obtener el valor exacto de las incógnitas; es más largo y laborioso que los anteriores pero tiene la ventaja del "poder de la imagen" para la comprensión de conceptos.
- Método con CALCULADORA GRÁFICA; es el más rápido y eficaz; en determinadas Comunidades Autónomas españolas, al contrario que el resto de Europa, tropieza con la prohibición de su uso.
- Método con CALCULADORA CIENTÍFICA; tiene las ventajas expuestas anteriormente y de que muchos de los docentes que la prohíben desconocen que determinadas calculadoras científicas son capaces de resolver sistemas.
Método de Gauss; es el utilizado de forma generalizada en sistemas de ecuaciones con 3 o más incógnitas.
Método de Cramer; utilizado cuando se conoce el tema de DETERMINANTES; es largo y tedioso y suele ser rechazado por el alumnado.
El método anteriormente expuesto, por tanteo, resulta casi siempre farragoso y en la mayoría de las ocasiones largo o imposible, por lo que se imponen otros numerosos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre los que destacaremos:
Método de reducción; es el más utilizado en problemas sencillos.
Método de sustitución; es importante pues, a pesar de ser menos utilizado que el anterior, se usa en numerosos mecanismos algebraicos.
Método de igualación; No muy utilizado, sólo en casos muy concretos.
Método gráfico; tiene el problema de que en muchas ocasiones es difícil obtener el valor exacto de las incógnitas; es más largo y laborioso que los anteriores pero tiene la ventaja del "poder de la imagen" para la comprensión de conceptos.
- Método con CALCULADORA GRÁFICA; es el más rápido y eficaz; en determinadas Comunidades Autónomas españolas, al contrario que el resto de Europa, tropieza con la prohibición de su uso.
- Método con CALCULADORA CIENTÍFICA; tiene las ventajas expuestas anteriormente y de que muchos de los docentes que la prohíben desconocen que determinadas calculadoras científicas son capaces de resolver sistemas.
Método de Gauss; es el utilizado de forma generalizada en sistemas de ecuaciones con 3 o más incógnitas.
Método de Cramer; utilizado cuando se conoce el tema de DETERMINANTES; es largo y tedioso y suele ser rechazado por el alumnado.
1er Año) Fracciones Equivalentes
Identificar fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor o representan la misma parte de un objeto. Si un pastel se corta en dos partes, cada parte es la mitad del pastel. Si el pastel se corta en cuatro partes, entonces dos partes representan la misma cantidad de pastel que representaba ½. Decimos que un ½ es equivalente a 2/4.
Se determina que dos fracciones son equivalentes al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Este número debe ser tal que los numeradores serán iguales después de la multiplicación. Por ejemplo si comparamos ½ y 2/4, multiplicaríamos ½ por 2/2 que nos daría como resultado 2/4, entonces son equivalentes.
Para comparar 1/2 y 3/7 multiplicaríamos 1/2 por 3/3 para obtener como resultado 3/6. Como 3/6 no es lo mismo que 3/7, las fracciones no son equivalentes.
* Son fracciones equivalentes a 1/2: 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12 ...
* Son fracciones equivalentes a 1/3: 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, ...
* Son fracciones equivalentes a 1/4: 2/8, 3/12, 4/16, 5/20, ...
* Son fracciones equivalentes a 1/5: 2/10, 3/15, 4/20, 5/25, ...
* Son fracciones equivalentes a 2/5: 4/10, 6/15, 8/20, 10/25, ....
Las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor o representan la misma parte de un objeto. Si un pastel se corta en dos partes, cada parte es la mitad del pastel. Si el pastel se corta en cuatro partes, entonces dos partes representan la misma cantidad de pastel que representaba ½. Decimos que un ½ es equivalente a 2/4.
Se determina que dos fracciones son equivalentes al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Este número debe ser tal que los numeradores serán iguales después de la multiplicación. Por ejemplo si comparamos ½ y 2/4, multiplicaríamos ½ por 2/2 que nos daría como resultado 2/4, entonces son equivalentes.
Para comparar 1/2 y 3/7 multiplicaríamos 1/2 por 3/3 para obtener como resultado 3/6. Como 3/6 no es lo mismo que 3/7, las fracciones no son equivalentes.
* Son fracciones equivalentes a 1/2: 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12 ...
* Son fracciones equivalentes a 1/3: 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, ...
* Son fracciones equivalentes a 1/4: 2/8, 3/12, 4/16, 5/20, ...
* Son fracciones equivalentes a 1/5: 2/10, 3/15, 4/20, 5/25, ...
* Son fracciones equivalentes a 2/5: 4/10, 6/15, 8/20, 10/25, ....
martes, 4 de mayo de 2010
2° Año) Polinomios - Nociones Generales
1. Define Polinomio en R:
- Un polinomio en variable "x" es una expresión algebraica conformada por la suma de términos de la forma: axn , donde "a" es cualquier número real, diferente de cero y "n" es un número entero positivo.
2. Aplicaciones:
a) Aplicaciones Matemáticas:
* Estudio de las raíces de z – a – w f(z) = 0.
b) Aplicaciones a la electrostática:
* Potencial de un campo eléctrico generado por una carga puntual.
* Potencial de un campo eléctrico generado por una carga puntual en el interior de una esfera puesta a Tierra.
* Potencial de un campo eléctrico generado por un anillo circular.
* Ecuación de laplace en coordenadas esféricas.
-Juan Sacerdoti."POLINOMIOS Y FUNCIONES DE LEGENDRE". Disponible en: http://www.fi.uba.ar/materias/6118/Material/Leg00.pdf
3. Investiga sobre:
3.1. Grado de un monomio:
a) Grado relativo: Es el exponente que afecta a cada variable, además, está en relación a cada una de las variables del monomio.
b) Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de todas las variables,es decir, está en relacion a toda la expresión.
3.2. Grado de un polinomio:
a) Grado relativo: Es el mayor exponente que presenta una misma variable en un polinomio.
b) Grado absoluto: Es la suma mayor de los exponentes de las variables de los términos de un polinomio.
c) Grado de las operaciones algebraicas:
* Grado de un producto: Es la suma de los grados de los factores.
* Grado de un cociente: Es el resultado de restar el grado del dividendo menos el grado del divisor.
* Grado de una potencia: El es producto de multiplicar el grado de la base por el exponente.
* Grado de una Raíz: Es el resultado de dividir el grado del radicando entre el índice del radical.
- Manuel Coveñas Naquiche. Matemática 3º Año de Educación Secundaria.
3.3. Polinomios especiales:
a) Polinomio idénticamente nulo: Es el polinomio que tiene todos los coeficientes iguales a cero y carece de grado. Simbólicamente: P(x) = 0+0.x+...0.x Ùn.
b) Homogéneo: Un polinomio es homogéneo cuando el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo.
c) Ordenado: Un polinomio es ordenado, cuando sus exponentes están de menor a mayor ( Polinomio ordenado ascendente): 5a2 +3a3 -a5 +a8; o de mayor a menor ( Polinomio ordenado descendente): 5x6 +3x5 -2x2 +x
c) Completo: Un polinomio es completo, con respecto a una variable, cuando tiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Ejemplo:3x5 -x4+6x3+x2 -5x1 +5x0 en este caso, podemos decir que el polinomio es completo con respecto a la variable "x".
d) Identicos, iguales o equivalentes: Dos polinomios son iguales cuando tienen igual
coeficiente e igual parte literal.
e)Polinomios semejantes: Son semejantes, cuando cuando tienen la misma parte literal.
- Brinkster. "Introducción al álgebra". Disponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplet
- Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Agrarias.
Silvia G. V.de Herrmann. "Polinomios". Disponible en: http://agr.unne.edu.ar/Academica/Ingreso2004/Matematica-I.pdf (Ver: pág. 11)
- http://faa.unse.edu.ar/ingreso/matemat/matem_05.pdf (Ver: pág. 52-53)
3.4. Operaciones con polinomios:
Adición:
- Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos, es decir, que se reúne los términos de igual grado y se suman.
4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+--- - 5x3 --- x2 +2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5
-Leoncio Santos Cuervo. Descartes2d. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma
- Ejercitando.com.ar. "Suma o adición de polinomios" Disponible en: http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm
- Silvia Sokolovsky. "Polinomios".Disponible en: http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm
- Encarta. "Polinomio". Disponible en: http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#s2
Sustracción:
- Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sutraendo, es decir, se cambia el signo a todos los términos del segundo polinomio (sustraendo) y se suman los resultados.
- Leoncio Santos Cuervo. Descartes. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma
- Brinkster.com. " Operaciones con polinomios". Disponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#masmenos
- Fisicanet.com. “POLINOMIOS - APM220A”. Disponible en: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2ap01/apm2_20a_polinomios.html
Multiplicación:
a) Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios se multiplicación los coeficientes numéricos y si existen coeficientes literales en común en los términos o monomios a multiplicar, el producto de ellos es el mismo con un exponente igual a la suma de los exponentes de los términos.
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, luego se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
a) 3x(5 – x) = 3x(5) – 3x(x) = 15x – 3x2
b) –2(a – b) = –2a + (–2)( –b) = –2a + 2b
c) Multiplicación de polinomios: Para multiplicar dos polinomios, se multiplican término a término de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes. Usualemente se ordenan los polinomios en orden creciente o decreciente. Ejemplo: Multiplicar el polinomio x2 +2x –1 por el siguiente polinomio de grado dos x2 +2x +1.
- Descartes. Leoncio Santos Cuervo. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma
- MSN Encarta. "Polinomio". Disponible en: http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#s3
- Student Star. "Polinomios". Disponible en: http://student_star.galeon.com/polmul.html
- Silvia Sokolovsky. "Polinomios". Disponible en:
http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm
- Brinkster.com. " Operaciones con polinomios". Disponible en:
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#multipl
- http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/ale2.htm
Productos notables: casos, Identidades de Legendre:
1.
Binomio de Suma al Cuadrado
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2.
Binomio Diferencia al Cuadrado
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
3.
Diferencia de Cuadrados
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
4.
Binomio Suma al Cubo
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)
5.
Binomio Diferencia al Cubo
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
6.
Suma de dos Cubos
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
#
Diferencia de Cubos
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
#
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
#
Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
#
Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
#
Producto de dos binomios que tienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
- Monografías.com. JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO . "Productos Notables". Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DEFIN
- Brinkster.com. "Operaciones con Polinomios". Productos Notables". Dsiponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#prodnotb
- Un polinomio en variable "x" es una expresión algebraica conformada por la suma de términos de la forma: axn , donde "a" es cualquier número real, diferente de cero y "n" es un número entero positivo.
2. Aplicaciones:
a) Aplicaciones Matemáticas:
* Estudio de las raíces de z – a – w f(z) = 0.
b) Aplicaciones a la electrostática:
* Potencial de un campo eléctrico generado por una carga puntual.
* Potencial de un campo eléctrico generado por una carga puntual en el interior de una esfera puesta a Tierra.
* Potencial de un campo eléctrico generado por un anillo circular.
* Ecuación de laplace en coordenadas esféricas.
-Juan Sacerdoti."POLINOMIOS Y FUNCIONES DE LEGENDRE". Disponible en: http://www.fi.uba.ar/materias/6118/Material/Leg00.pdf
3. Investiga sobre:
3.1. Grado de un monomio:
a) Grado relativo: Es el exponente que afecta a cada variable, además, está en relación a cada una de las variables del monomio.
b) Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de todas las variables,es decir, está en relacion a toda la expresión.
3.2. Grado de un polinomio:
a) Grado relativo: Es el mayor exponente que presenta una misma variable en un polinomio.
b) Grado absoluto: Es la suma mayor de los exponentes de las variables de los términos de un polinomio.
c) Grado de las operaciones algebraicas:
* Grado de un producto: Es la suma de los grados de los factores.
* Grado de un cociente: Es el resultado de restar el grado del dividendo menos el grado del divisor.
* Grado de una potencia: El es producto de multiplicar el grado de la base por el exponente.
* Grado de una Raíz: Es el resultado de dividir el grado del radicando entre el índice del radical.
- Manuel Coveñas Naquiche. Matemática 3º Año de Educación Secundaria.
3.3. Polinomios especiales:
a) Polinomio idénticamente nulo: Es el polinomio que tiene todos los coeficientes iguales a cero y carece de grado. Simbólicamente: P(x) = 0+0.x+...0.x Ùn.
b) Homogéneo: Un polinomio es homogéneo cuando el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo.
c) Ordenado: Un polinomio es ordenado, cuando sus exponentes están de menor a mayor ( Polinomio ordenado ascendente): 5a2 +3a3 -a5 +a8; o de mayor a menor ( Polinomio ordenado descendente): 5x6 +3x5 -2x2 +x
c) Completo: Un polinomio es completo, con respecto a una variable, cuando tiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Ejemplo:3x5 -x4+6x3+x2 -5x1 +5x0 en este caso, podemos decir que el polinomio es completo con respecto a la variable "x".
d) Identicos, iguales o equivalentes: Dos polinomios son iguales cuando tienen igual
coeficiente e igual parte literal.
e)Polinomios semejantes: Son semejantes, cuando cuando tienen la misma parte literal.
- Brinkster. "Introducción al álgebra". Disponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplet
- Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Agrarias.
Silvia G. V.de Herrmann. "Polinomios". Disponible en: http://agr.unne.edu.ar/Academica/Ingreso2004/Matematica-I.pdf (Ver: pág. 11)
- http://faa.unse.edu.ar/ingreso/matemat/matem_05.pdf (Ver: pág. 52-53)
3.4. Operaciones con polinomios:
Adición:
- Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos, es decir, que se reúne los términos de igual grado y se suman.
4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+--- - 5x3 --- x2 +2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5
-Leoncio Santos Cuervo. Descartes2d. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma
- Ejercitando.com.ar. "Suma o adición de polinomios" Disponible en: http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm
- Silvia Sokolovsky. "Polinomios".Disponible en: http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm
- Encarta. "Polinomio". Disponible en: http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#s2
Sustracción:
- Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sutraendo, es decir, se cambia el signo a todos los términos del segundo polinomio (sustraendo) y se suman los resultados.
- Leoncio Santos Cuervo. Descartes. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma
- Brinkster.com. " Operaciones con polinomios". Disponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#masmenos
- Fisicanet.com. “POLINOMIOS - APM220A”. Disponible en: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2ap01/apm2_20a_polinomios.html
Multiplicación:
a) Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios se multiplicación los coeficientes numéricos y si existen coeficientes literales en común en los términos o monomios a multiplicar, el producto de ellos es el mismo con un exponente igual a la suma de los exponentes de los términos.
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, luego se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
a) 3x(5 – x) = 3x(5) – 3x(x) = 15x – 3x2
b) –2(a – b) = –2a + (–2)( –b) = –2a + 2b
c) Multiplicación de polinomios: Para multiplicar dos polinomios, se multiplican término a término de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes. Usualemente se ordenan los polinomios en orden creciente o decreciente. Ejemplo: Multiplicar el polinomio x2 +2x –1 por el siguiente polinomio de grado dos x2 +2x +1.
- Descartes. Leoncio Santos Cuervo. "Polinomios". Disponible en: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma
- MSN Encarta. "Polinomio". Disponible en: http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#s3
- Student Star. "Polinomios". Disponible en: http://student_star.galeon.com/polmul.html
- Silvia Sokolovsky. "Polinomios". Disponible en:
http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm
- Brinkster.com. " Operaciones con polinomios". Disponible en:
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#multipl
- http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/ale2.htm
Productos notables: casos, Identidades de Legendre:
1.
Binomio de Suma al Cuadrado
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2.
Binomio Diferencia al Cuadrado
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
3.
Diferencia de Cuadrados
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
4.
Binomio Suma al Cubo
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)
5.
Binomio Diferencia al Cubo
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
6.
Suma de dos Cubos
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
#
Diferencia de Cubos
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
#
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
#
Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
#
Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
#
Producto de dos binomios que tienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
- Monografías.com. JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO . "Productos Notables". Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DEFIN
- Brinkster.com. "Operaciones con Polinomios". Productos Notables". Dsiponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#prodnotb
3°Año) Métodos para solución de sistemas de ecuaciones de 2x2
Método de Igualación
Consiste este método en hallar el valor de la misma incógnita, en función de otra, en ambas ecuaciones, e igualamos los resultados.
Pasos para resolver este método.
1- Despejamos a x en ambas ecuaciones.
1) 4x-6y = -20
2) 2x+4y = 32
1) 4x-6y = -20 2) 2x+4y = 32
X = 20+6y X = 32-4y
4 2
2- Igualamos los valores de las dos X y multiplicamos por el dividiendo de cada uno en viceversa.
-20+6y = 32-4y 2(-20+6y) = 4(32-4y)
4 2 -40+12y =128-16y
3- Agrupamos los términos semejantes y factorizamos hasta encontrar a Y.
-40+12y = 128-16y
16y+12y = 128+40
28y = 168
28 28
Y = 6
4- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.
2x+4y =32
2x+4(6) = 32
2x+24 = 32
2x = 32-24
2x = 8
2 2
X = 4
Conj. Solución es (6,4)
Método de Sustitución
Consiste en despejar una incógnita, en función de otra, en una de las ecuaciones y sustituir el valor en otra letra.
Paso para resolver por este método.
1- Despejar a X de la ecuación, de cual quiera de las ecuaciones.
8x+7y = 82 X = 82-7y
6x-5y = 0 8
2- Sustituimos a X de la segunda ecuación por lo despejado y multiplicamos por el primer valor ósea 6.
6x-5y = 0
6(82-7y)-5y = 0
8
492-42y-5y = 0
8
3- Ahora dividimos 492-42y por su dividiendo y los otros números se le agregan un 1y se divide.
492-42y-5y = 0
8
492-42y-5y = 0
8 1 1
61-5y-5y = 0
4- Agrupamos términos semejantes y factorizamos hasta encontrar el valor de Y.
61-5y-5y = 0
-5y-5y = 0-61
10y = -61
10 10
Y = -6
5- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.
6x-5y = 0
6x-5(-6) = 0
6x+30 = 0
6x = 0-30
6x = -30
6 6
Y = -5
Conj. Solución es (-6,-5)
Método de Reducción
Método de reducción, uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Si el sistema es de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, este método consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con una única incógnita.
Pasos para resolver por este método.
1- Pasar los dos primeros valores de la ecuación al final de la ecuación multiplicando en viceversa y el primer valor pasa negativo.
6x-7y = 5 6x-7y = 5 (-8)
8x-9y = 7 8x-9y = 7 (6)
2- Ahora multiplicamos por los números escogidos la ecuación, después eliminamos los términos semejantes y ahora sumamos o restamos según los signos. Después de eso hacer media factorisación.
6x-7y = 5 (-8)
8x-9y = 7 (6)
-48x+56y = -40
48x -54y = 42
-48x+56y = -40
48x -54y = 42
2y = 2
2 2
Y = 1
3- Para encontrar a X, tomamos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.
Consiste este método en hallar el valor de la misma incógnita, en función de otra, en ambas ecuaciones, e igualamos los resultados.
Pasos para resolver este método.
1- Despejamos a x en ambas ecuaciones.
1) 4x-6y = -20
2) 2x+4y = 32
1) 4x-6y = -20 2) 2x+4y = 32
X = 20+6y X = 32-4y
4 2
2- Igualamos los valores de las dos X y multiplicamos por el dividiendo de cada uno en viceversa.
-20+6y = 32-4y 2(-20+6y) = 4(32-4y)
4 2 -40+12y =128-16y
3- Agrupamos los términos semejantes y factorizamos hasta encontrar a Y.
-40+12y = 128-16y
16y+12y = 128+40
28y = 168
28 28
Y = 6
4- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.
2x+4y =32
2x+4(6) = 32
2x+24 = 32
2x = 32-24
2x = 8
2 2
X = 4
Conj. Solución es (6,4)
Método de Sustitución
Consiste en despejar una incógnita, en función de otra, en una de las ecuaciones y sustituir el valor en otra letra.
Paso para resolver por este método.
1- Despejar a X de la ecuación, de cual quiera de las ecuaciones.
8x+7y = 82 X = 82-7y
6x-5y = 0 8
2- Sustituimos a X de la segunda ecuación por lo despejado y multiplicamos por el primer valor ósea 6.
6x-5y = 0
6(82-7y)-5y = 0
8
492-42y-5y = 0
8
3- Ahora dividimos 492-42y por su dividiendo y los otros números se le agregan un 1y se divide.
492-42y-5y = 0
8
492-42y-5y = 0
8 1 1
61-5y-5y = 0
4- Agrupamos términos semejantes y factorizamos hasta encontrar el valor de Y.
61-5y-5y = 0
-5y-5y = 0-61
10y = -61
10 10
Y = -6
5- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.
6x-5y = 0
6x-5(-6) = 0
6x+30 = 0
6x = 0-30
6x = -30
6 6
Y = -5
Conj. Solución es (-6,-5)
Método de Reducción
Método de reducción, uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Si el sistema es de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, este método consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con una única incógnita.
Pasos para resolver por este método.
1- Pasar los dos primeros valores de la ecuación al final de la ecuación multiplicando en viceversa y el primer valor pasa negativo.
6x-7y = 5 6x-7y = 5 (-8)
8x-9y = 7 8x-9y = 7 (6)
2- Ahora multiplicamos por los números escogidos la ecuación, después eliminamos los términos semejantes y ahora sumamos o restamos según los signos. Después de eso hacer media factorisación.
6x-7y = 5 (-8)
8x-9y = 7 (6)
-48x+56y = -40
48x -54y = 42
-48x+56y = -40
48x -54y = 42
2y = 2
2 2
Y = 1
3- Para encontrar a X, tomamos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.
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